19.1. Мера Лебега. Измеримые множества

Пусть R =и множество точек (чисел) AR. Напри-

мер, множество рациональных точек Q или множество иррациональных точекРассмотрим классификацию множеств А в зависимости от входящих в них точек.

О: Точка аА называется:

а) предельной точкой А, еслисодержит точки множества А, отличные от а;

б) внутренней точкой А, если

в) граничной точкой А, если а не является внутренней точкой

г) изолированной точкой А, если

Внутренние и граничные точки А являются его предельными точками.

О: Множество А называется:

а) открытым, если оно состоит только из внутренних точек;

б) замкнутым, если содержит все свои предельные точки;

в) дискретным, если содержит только изолированные точки;

г) ограниченным, если

д) конечным, если оно состоит из конечного числа точек.

Конечное множество дискретно и замкнуто. Если А — открытое множество, тозамкнуто.

Понятие меры множества А является обобщением понятия длины отрезка. Чтобы его сформулировать, введем некоторые определения.

О: Действительное число М(т) называется верхней (нижней) гранью множества AR, если

Каждое непустое множество AR, имеющее верхнюю (нижнюю) грань, имеет наименьшую верхнюю(наибольшую нижнюю m*) грань, которая называется точной верхней (точной нижней гранью А.

Пусть

О: Множество интерваловназывается покрытием

множества А, еслисуществует интервалсодер-

жащий точку с.

Любое ограниченное множество А может быть покрыто конечной или счетной системой интервалов[15. С.48].

О: Мерой промежутканазывается число

Длявыполняются свойства:

О: Внешней меройограниченного множества А называется точная нижняя граница суммыпо всевозможным его покрытиямВнутренней меройограниченного множества А называется где

О: Ограниченное множество А называется измеримым по Лебегу с меройесли

Свойствадлясохраняются. Открытое и замкнутое ограниченные множества измеримы. Множества, состоящие из конечного или счетного множества точек, измеримы и их меры равны нулю.

Примеры: Множество рациональных точекизмеримо. Так как оно счетно, то= 0.

Множество иррациональных точектоже измеримо и

Аналогично можно ввести меру для любого множества точек илиобобщающую понятия площади плоской фигуры и объема пространственного тела.

03 августа 2010

Что еще почитать

Комментарии к новости